数学文化的教育特性思索「数学教育的本质」

作者 |蔡德清(莆田市教师进修学院)、朱庆云(莆田市擢英中学)

来源 |《福建教育》2020年第28期，本文获作者授权发布，作为数学文化征文比赛的参考文献供读者参阅.

数学是什么？从教育的角度来看，数学作为基础性学科，其价值总体偏向工具性，忽略了文化性。应试背景下的数学教育过分关注学生数学知识的学习、解题技巧的训练与考试经验的积累，使数学本该拥有的文化价值一点点地剥落和丧失。若数学教育者的眼里只看到题目、公式、概念、定理，心中念叨的只是成绩、排名、熟练、技巧，由此生成的课一定是抽象、单调、枯燥、乏味的。因此，引导数学教育者重塑课程观成了当前的一项迫切任务。

眼界决定境界！文化力是创造力的源泉！倡导数学阅读、传播数学文化、引领数学欣赏、推广数学写作、提升人文素养、坚定文化自信，比纯粹提升分数来得重要万分。数学教育并非纯知识或纯技能的传授，从根本上讲，数学教育应被视为文化素质教育。在课程改革背景下，教师应尝试对教材进行二次开发，将数学文化融入课堂，这无异于交给学生一把金钥匙，助学生真正开启数学学习之门。

数学文化的教育特征，总结起来有以下几点：

一、哲学性

秦国丞相李斯在 《谏逐客书》 中有言：“泰山不让土壤，故能成其大；河海不择细流，故能就其深。”数学家德林斯说得好：“没有数学，我们无法看透哲学的深度；没有哲学，人们也无法看透数学的深度。而没有两者，人们就什么也看不透。”他之所以这么说，是因为哲学研究的是世界的本质，它在人文科学中抽象性最高；数学研究的是世界的数与形，它比任何自然科学学科都具有更高的抽象性。数学为哲学的研究提供了对象，而哲学又为数学的发展起到一种引导作用。数学与哲学在许多场合不期而遇，你中有我，我中有你。哲学是心灵的学问，哲学教人爱智慧、教人明人生、教人察人性；而数学是知识的学问，数学教人长智慧、教人会学习、教人善思考。

在数学发展的历史长河中，数学哲学是一个充满迷惑的领域，处处体现了数学文化的哲学思想。毕达哥拉斯的“万物皆数”至今都不绝如缕，而中国古代老子《道德经》中的哲学观点“道生一，一生二，二生三，三生万物”，揭示了“道”生万物，从少到多，从简单到复杂的一个变化过程，到今天还在思想层面指导我们科学思考。

现代数学哲学的研究对象为数学与现实世界，包括：数学理论与实践发展的关系问题；数学概念及数学运算中的辩证关系，数学概念发展的内在逻辑；数学范畴中的辩证统一关系，如常量与变量、直线与曲线、连续与间断等 （相互联系、相互转化的关系）；数学范畴中的对立统一思想，诸如宏观与微观、理性与直觉、抽象与具体、共性与个性、量变与质变、有限与无限、偶然与必然、实在与虚拟、归纳与演绎等。

如一元二次方程根的判别式Δ的数量变化（Δ>0，Δ=0，Δ<0）将引起方程根的本质变化：两个不等实根、两个相等实根、和两个虚根，就体现了从量变到质变。而概率论与统计学为人类科学地认识必然与偶然提供了最佳的工具等。

数学哲学要探究数学基本概念和方法的来龙去脉，对当前数学方法进行概括总结，对典型数学应用进行评述，从而明晰数学发展阶段，启迪数学创新思维，为数学的高效发展扫清错误观念的障碍。教育改革实践和研究的重要方面是思想层面，也就是“哲理层面”。“哲学思想”应当是成为数学教学的重要战略思想，并由它统领“数学思想方法”，才能推动科学层面与艺术层面和谐统一。

二、趣味性

有人说：“数学是美丽的花园，走进去你会闻到迷人的花香。”数学本来就是一门有趣的学问，只不过，在入学考试这块凹面镜的歪曲反映下变得艰涩费解。在数学王国中旅游，数学史是个最好的“导游”。从古老的巴比伦数字到现代的计算机理论，从经济学中的博弈理论到物理学中的相对论，从数学象牙塔中的哥德巴赫猜想到数学史上的三次危机，从默比乌斯带到拓扑几何，从蝴蝶效应到混沌运动，从科克的雪花曲线到分形几何等，数学的产生与发展就是由一个个精彩的故事构成的。

勾股定理是初中一个非常基本的定理，它是历史上第一个把数与形结合起来，把代数与几何融为一体的定理。历史上，勾股定理曾导致了无理数的发现，引起了数学史上第一次危机，引起人们对不定方程的研究和费马猜想，因此它是数学史上最精彩、最重要的一个定理。

数学史上最浪漫的情书应是直角坐标系的创始人笛卡尔写的一个数学坐标方程r=a(1-sinθ)，该方程就是著名的“心形线”，这封情书据说最后被收录到欧洲笛卡尔博物馆中。学数学的人知道，“百岁山”广告中的故事，就利用了这个创意，广告把“百岁山”的水比喻成这封另类情书，意喻“经典、浪漫、难忘、瞩目”。

人教版初中数学教材 （以下简称“教材”） 八年级下册“17.2 阅读与思考——费马大定理”中，20 世纪数学大师希尔伯特把费马猜想称为会下金蛋的鹅。费马猜想本身从提出到证明的过程，就是一部不折不扣的惊险小说，是一场挑战人类智力极限和好奇心的接力赛，一代又一代的数学天才前赴后继，向这一猜想发起挑战。

目前，数学教学普遍存在“知识过度碎片化，内容过度肤浅化，教学过度技巧化”，缺少了欣赏这个环节，以一副冰冷的面孔展示给青少年，使得许多学生无法喜欢数学，害怕数学甚至厌恶数学。我们欣赏美景，欣赏歌舞，欣赏文学……欣赏让我们赏心悦目地接受所有美好的事物。而欣赏数学，则会让你穿越千年的历史去品味数学文化的魅力。你会在欧氏几何中悟到逻辑，在费马猜想中懂得自省，在笛卡尔的“心形线”中感受到浪漫，在蒙娜丽莎的微笑中学到应用，在九章算术中品味自豪。数学文化，永远能撩拨枯燥生活下那一颗颗年轻好学的心。窃以为，数学教育的最高境界便是师生共同陶醉于美丽的数学花园。

三、艺术性

克莱因说过：“音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数学能给予以上的一切。”费曼说过：“如果你希望理解自然，欣赏自然，那就必须理解数学的语言。”科学和艺术一样，其诞生之目的是描述和再现大自然的美。所不同的是，艺术主要描述大自然表象的、外在的美，而科学则主要揭示大自然本质的、内在的美。自然永远比我们所想的更深邃、更丰富、更有趣，而许多科学成果都是以数学语言特别是数学公式表现的，数学提供给我们一个非常有用的

方式去欣赏自然的美，所以科学之美的主要表现形式是数学之美。

历史上数学对文化艺术影响深远，按照英国数学家罗素的看法，数学“不仅拥有真理，而且拥有至高无上的美，一种冷峻严肃的美，就像是一尊雕塑”。特别是绘画艺术与几何结构二者关系若即若离，又不离不弃。正如，躲在达·芬奇透视关系背后的是射影几何，躲在毕加索抽象艺术背后的是非欧几何，而后现代主义、纯粹主义，那更与现在的分形几何学密切相关。

勾股定理与黄金分割并称几何学中两大宝藏，在相关内容教学中，教师可穿插一些数学与艺术的素材。如在教材八年级下册“18.2 数学活动——黄金矩形”教学中，教师可介绍黄金分割，并由此引入黄金三角形、黄金图形、黄金螺线等。黄金分割是一种非常美丽和令人兴奋的数学对象，它常常出现于艺术、建筑、自然界，甚至于人体结构。如自然界中的蜂巢、向日葵、鹦鹉螺的螺线等都与黄金螺线相关。黄金分割比一直能够引起人们的美感而被认为是建筑和艺术中最理想的比例，如肚脐分割整个人体，印堂穴分割整个头，肘关节分割上肢，膝关节分割下肢。在视觉效果上，按照此黄金分割比例制作的物品是最符合人类认知审美的。达·芬奇的人体画像基本按黄金分割的比例去画的，如经典的蒙娜丽莎微笑等。

在教材七年级下册“5.1 观察与猜想——看图时的错觉”教学中，教师可介绍埃舍尔的作品。埃舍尔作为思想家、数学家、艺术家，他的作品常有平面镶嵌、不可能的结构、悖论、循环等，他的作品应用了反射、滑动反射、平移、旋转等数学方法，能看到对分形、对称、双曲几何、多面体、拓扑学等数学概念的形象表达，兼具艺术性与科学性。而在教材九年级下册“27.2 观察与猜想——奇妙的分形图形”教学中，通过视频学生可以欣赏到自然界的几何，如海岸线分形图、自相似的植物与花椰菜，还有利用计算机设计美得令人心醉的分形艺术等，这种美令人震撼。因此，数学教育带给学生的不仅是知识，还有心灵的震撼、美的熏陶。数学领域不缺少美，缺少的是“发现”。

四、人文性

我们发现，中外科学大师不但精通本门学科，而且文化修养比较高。国家最高科技奖获得者谷超豪说过：“在我的生活里，数学是和诗一样让我喜欢的东西。”著名作家秦牧在其名著 《艺海拾贝》 中专有“诗与数字”一节，他认为数学入诗常显得“情趣横溢，诗意盎然”。著名作家雨果曾经说过：“数学到了最后阶段就遇到想象，在圆锥曲线、对数、概率、微积分中，想象成了计算的系数，于是数学也成了诗。”德国大数学家魏尔斯特拉斯的话“一个没有几分诗人气质的数学家永远也不会成为一个完美的数学家”，在数学界更是一句耳熟能详的名言。

其实，数学与政治、经济、社会，乃至文学、语言、美学等之间都有着千丝万缕的联系。特别是数学与文学、数学与音乐、数学与美学等都是广义下的数学文化。

未来社会发展对数学的需要，它要求更高效的算法，更新颖的思路，更广泛的联络。认识数学的学科价值有助于提高数学教学的自豪感、积极性；消除社会对数学的误解。《未来10年中国学科发展战略·数学》指出数学在自然科学、高技术、经济金融等领域的研究中都占有重要地位并具有深远影响。美国的《2025年的数学科学》强调数学关系到一个国家经济社会与国家安全的现实利益。郑志明院士说过：“要想成为AI领袖人物，学好数学是基础”，这也是华为公司要在法国、俄罗斯设立数学研究中心意义所在。事实上社会消费了大量的数学，但一切只在幕后进行。原因是数学属于幕后，这造成人们对“数学有用”的理解具有很大的局限性！

五、人文性

我们发现中外科学大师不但精通本门学科，文化修养大都比较高。国家最高科技奖谷超豪说过“在我的生活里，数学是和诗一样让我喜欢的东西。”著名作家秦牧在其名著《艺海拾贝》中专有“诗与数字”一节，他认为数学入诗常显得“情趣横溢，诗意盎然。”著名作家雨果曾经说过：“数学到了最后阶段就遇到想象，在圆锥曲线、对数、概率、微积分中，想象成了计算的系数，于是数学也成了诗”。而德国大数学家魏尔斯特拉斯的“一个没有几分诗人气质的数学家永远也不会成为一个完美的数学家”在数学界更是一句耳熟能详的名言。有副对联：“世事再纷繁，加减乘除算尽，宇宙虽广大，点线面体包完”，却是何等的数学气概。

其实，数学与政治、经济、社会乃至文学、语言、美学等之间都有着千丝万缕的联系。特别是数学与文学、数学与诗歌、数学与音乐、数学与美学等都是广义下的数学文化。

现如今，会解题、会教学的数学教师很多，但会阅读、会写作的数学教师很少，这是一种普遍现象。应该说，你不会解题你就不会教数学，若你只会解题，不注重人文素养的提升，则只能成为一个教书匠。随着对数学文化研究的深入，我们对教育的认识已由知识层面上升到了精神层面，从关注知识的传授转变到同时关注人文素养的发展。为让数学课堂充满着美好情境的人文精神，教师需要加强学习数学文化相关内容，如数学史、数学哲学、数学教育学相关书籍，挖掘教材中的数学文化，做数学文化的学习者与宣讲者，让自己成为一个“最文化”的数学人。

眼界远比知识重要，如果说数学教学的任务是教授数学知识，那么数学教育则是在数学知识中捕捉、渗透、引领“人”的成长。只有将数学文化融入课程，才能创设出令人愉悦的课堂；只有挖掘数学知识蕴含的价值观资源，才能有效地实现数学课程的育人目标；只有在数学课堂中呈现出人文精神，才能塑造出趋于完美的人格。这正是课程改革的价值取向，也是数学教育发展的必然归宿。

注：本文为福建教育学院基础教育研究课题《数学文化背景下的教研模式创新研究》（批准号：JYYB-2017029）的研究成果